2. 양자역학(2) - 유한한 전위 장벽에 갇힌 전자의 특성(1)

2. 양자역학(2) - 유한한 전위 장벽에 갇힌 전자의 특성


양자역학을 공부하다 보면 전위 장벽이 없는 계에서의 전자의 운동인 자유전자부터 배우기 시작한다.

자유전자는 슈뢰딩거 방정식에서 위치에너지 연산자를 고려 할 필요가 없기 때문에 그나마 식이 좀 더 쉬워지기 때문이다.

그 다음 배우는 것이 무한한 전위장벽에 완벽히 갇혀있는 전자를 배우는데, 이 두 가지 단계는 양자역학 자체에 대해 좀 더 깊히 이해하기 위한 과정일 뿐이다. 

지금 진행중인 반도체 물리학 강좌에서는 철저하게 반도체 분야에 실용적으로 진행 할 것이기 때문에 위의 두 단계는 따로 양자역학 강좌를 만들어 다루도록 하고 지금은 실제로 마주치게 되는 상황과 가장 유사한 상황인 유한한 전위장벽에 대해 설명하도록 하겠다.


[실제 적용 예]

MOSFET(metal-oxide-semiconductor field-effect transistor), HEMT(High-electron-mobility transistor), LED(light-emitting diode) 등 이종 접합을 이용하는 반도체 소자는 대부분 유한한 전위 장벽에 전하가 갇혀 있는 구조이다.

또한 floating gate와 flash memory는 이 전위장벽으로 둘러쌓인 저장층에 전자를 가둬두는 방법으로 데이터를 저장하기 때문에 전위장벽과 전하의 상호작용을 이해하고 있어야만 한다.


[전자의 에너지가 $-\Delta E < E < 0$인 경우]


영역1 : $x$가 $-\infty$로 가면 갈 수록 파동함수가 감쇄되어야 함. 즉, $-x$방향의 파는 죽음

영역2 : 전자가 갇혀있음. 사인,코사인 조합으로 이루어진 파동함수

영역3 : 영역1과 반대로 $x$가 $+\infty$로 가면 갈 수록 파동함수가 감쇄되어야 함. 즉, $+x$방향의 파는 죽음

위의 내용을 종합하면

$$\psi_{\text{region1}}=A_{영역1}e^{kx}$$

$$\psi_{영역2}=A_{영역2}\sin k_o x+B_{영역2}\cos k_o x$$

$$\psi_{영역3}=B_{영역3}e^{-kx}$$


여기서 잠깐!

왜 영역1과 영역3은 exponential 함수인데 영역 2만 삼각함수일까?

이 부분을 이해하기 위해 슈뢰딩거 방정식을 다시 살펴보자.

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi=E\psi$$

위 식을 정리하면

$$\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi=\frac{2m(V-E)}{\hbar}\psi$$

위 미분 방정식의 해는

$$\psi=Ae^{kx} \;\;\;\;\; \text{where} \;\;\; k=\sqrt{\frac{2m(V-E)}{\hbar}}$$

이렇게 나오는데 여기서 k부분이 중요하다.

k 안에는 $\sqrt{\text{potential energy -kinetic energy}}$ 항이 있는데 이 값이 영역1과 영역3에서는 양수 값이고, 영역 2에서만 음수값이다.

즉, 영역 2에서는 exponential 함수의 지수에 허수 $i$가 들어가는데, $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$이기 때문에 영역2는 삼각함수 조합으로 표현 가능한 것이다.

쉽게 생각하면 전자가 자유롭게 움직일 수 있는 공간에서는 파동함수, 장벽 속에선 감쇄함수 라고 생각하면 된다.

매우 당연한 상황이다 ㅋ


그럼 이제 위와 같은 조건들을 만족시키는 해를 찾아야 하는데 완전히 수학적 정석으로 푸는 방법은 아래와 같다.


조건 1. 파동함수의 형태

$$\psi_{영역1}=A_{영역1}e^{kx}$$

$$\psi_{영역2}=A_{영역2}\sin k_o x+B_{영역2}\cos k_o x$$

$$\psi_{영역3}=B_{영역3}e^{-kx}$$


조건 2. 미분값 (기울기)

$$\psi'_{영역1}=kA_{영역1}e^{kx}$$

$$\psi'_{영역2}=k_oA_{영역2}\cos k_o x-k_oB_{영역2}\sin k_o x$$

$$\psi'_{영역3}=-kB_{영역3}e^{-kx}$$


조건 3. 경계조건 적용

$$A_{영역1}e^{k(-a)}=A_{영역2}\sin (k_o (-a))+B_{영역2}\cos (k_o (-a))$$

$$B_{영역3}e^{-ka}=A_{영역2}\sin (k_o (a))+B_{영역2}\cos (k_o (a))$$

$$kA_{영역1}e^{k(-a)}=k_oA_{영역2}\cos (k_o (-a))-k_oB_{영역2}\sin (k_o (-a))$$

$$-kB_{영역3}e^{-ka}=k_oA_{영역2}\cos (k_o (a))-k_oB_{영역2}\sin (k_o (a))$$


정석대로 풀려면 조건 3 의 모든 조건을 만족시키는 해를 찾기 위해 복잡한 연립방정식을 풀어야 한다.

이건 말 그대로 그냥 노가다이고, 원론적인 연습은 당연히 양자역학 시간에 했어야 한다.

지금은 반도체 공학을 공부하는 중이니까 좀 더 빠르게 답을 찾아야 한다.


그러기 위해선 이 상황을 좀 더 직관적으로 정리 할 수 있어야 한다.

문제를 풀기 쉽게 조건을 다시 정리하면 아래와 같다.


1. 퍼텐셜이 대칭인 경우 파동함수는 우함수이거나 기함수여야 한다.

왜냐고?

모든 조건이 똑같은데 입자가 왼쪽에 있을 확률이랑 오른쪽에 있을 확률이 다를 이유가 없기 때문이다.

즉, 입자가 존재할 확률이 대칭적이려면 파동함수의 형태는 우함수와 기함수 형태로 나올 수 밖에 없다.

원래는 위 연립방정식의 해를 찾기 위해선 4by4 행렬식의 값이 0이되는 해를 찾아야 하는데 그렇게 노가다 하는 것 보다 훨씬 쉬워진다.


웹 페이지라 여백의 모자람은 없지만, 수식이 많아지면 로딩이 늦어지기 때문에 풀이 방법은 시리즈로 연재하겠다.