자연을 강의한다 - Nacture

$10$ 이하의 자연수 $k$에 대하여 이차방정식 $x^2 +ax-k=0$의 두 근의 절댓값의 비가 $1:2$가 되도록 하는 모든 정수 $a$의 값의 곱을 구하시오. 풀이) 두 근을 $c$와 $d$로 두고 근과 $a$, $k$의 관계를 표로 정리한다. $x^2+ax-k=(x-c)(x-d)$ $x^2+{\color{Blue}{a}}x{\color{Red}{-k}}=x^2{\color{Blue}{-(c+d)}}x+{\color{Red}{cd}}$ 표를 정리 할 때 부호에 신경을 써야하는데 $a$는 두 근을 더한 값에 $-$가 붙어서 $a=-(c+d)$라는 것과 $k$는 두 근의 곱에 $-$가 붙어서 $k=-cd$라는 것에 주의해야 한다. 따라서 $10$이하의 $k$에 대해 가능한 모든 $a$값의 곱은 $4$..

두 실수 $a$, $b$와 $f(x)=x^2+(a+1)x+b$에 대하여 방정식 $f(x+i)=a+2b$의 한 근이 $a$일 때, $a-b$의 값은? ① $f(x+i)$를 전개 한다. $\begin{align*} f(x+i)&=(x+i)^2 +(a+1)(x+i)+b \\ &=x^2 {\color{Red} {+2ix}}-1+ax{\color{Red} {+ai}}+x{\color{Red} {+i}}+b \\ &= {\color{Red} {(2x+a+1)i}}+x^2+(a+1)x+b-1\\ \end{align*}$ ②$f(x+i)=a+2b$의 한 근이 $a$ 라고 했으니까 $x$대신에 $a$를 넣어서 $f(a+i)=a+2b$를 만족하는 방정식을 푼다. $\begin{align*} f(a+i)&=(2a+a+1)i..

두 다항식 $x^3 +2x^2 +ax-2$와 $x^3 -2x^2 +bx+2$가 모두 일차항의 계수가 $1$이고 상수항이 $0$이 아닌 두 일차다항식 $f(x)$, $g(x)$를 인수로 가질 때, 두 상수 $a$, $b$에 대하여 $a^2 +b^2$의 값은? (단, $f(x)\neq g(x)$) 풀이) ①두 다항식 $x^3 +2x^2 +ax-2$와 $x^3 -2x^2 +bx+2$가 모두 일차항의 계수가 $1$이고 상수항이 $0$이 아닌 두 일차다항식 $f(x)$, $g(x)$를 인수로 가진다는 의미는 "2개의 공통 해"를 가진다는 의미이다. 즉, $x^3 +2x^2 +ax-2$와 $x^3 -2x^2 +bx+2$ 이 두개의 식에서 $a$와 $b$의 값을 적절히 조절하면 아래 그래프와 같이 $x$축상에 교점이..

차수가 3인 다항식 $P(x)$를 $x^2 +2$로 나누었을 때의 나머지가 $x+1$이고, $x-2$로 나누었을 때의 나머지가 9이다. 다항식 $P(x)$를 $(x^2 +2)(x-2)$로 나누었을 때의 나머지를 $R(x)$라 할 때, $R(3)$의 값을 구하시오. 풀이) ①다항식 $P(x)$를 $(x^2 +2)(x-2)$로 나누었을 때의 나머지를 $R(x)$ 이 문장을 식으로 표현하면 $P(x)=(x^2 +2)(x-2)Q+R(x)$ 위와 같이 표현 가능한데, $(x^2 +2)(x-2)$는 3차식이므로 $R(x)$는 2차식이 돼야 한다. $R(x)=ax^2 +bx+c$ 라고 하면 $P(x)=(x^2 +2)(x-2)Q+ax^2 +bx+c$ 라고 쓸 수 있다 ②$P(x)$를 $x^2 +2$로 나누었을 때의 나..