고1중간고사대비 문제풀이 (3)

 

두 실수 $a$, $b$와 $f(x)=x^2+(a+1)x+b$에 대하여 방정식 $f(x+i)=a+2b$의 한 근이 $a$일 때, $a-b$의 값은?

 

① $f(x+i)$를 전개 한다.

 

$\begin{align*}
 f(x+i)&=(x+i)^2 +(a+1)(x+i)+b \\ 
 &=x^2 {\color{Red} {+2ix}}-1+ax{\color{Red} {+ai}}+x{\color{Red} {+i}}+b \\ 
 &= {\color{Red} {(2x+a+1)i}}+x^2+(a+1)x+b-1\\ 
\end{align*}$

 

②$f(x+i)=a+2b$의 한 근이 $a$ 라고 했으니까 $x$대신에 $a$를 넣어서 $f(a+i)=a+2b$를 만족하는 방정식을 푼다.

 

$\begin{align*}
 f(a+i)&=(2a+a+1)i+a^2+(a+1)a+b-1 \\ 
 &=(3a+1)i+a^2+(a^2+a)+b-1 \\ 
 &=(3a+1)i+2a^2+a+b-1=a+2b \\ 
\end{align*}$

 

마지막 관계식

$(3a+1)i+2a^2+a+b-1=a+2b$

을 통해서 좌변의 허수부는

$(3a+1)i=0$

이 되어야 한다는 조건을 알 수 있고, 따라서 $a=- \frac {1}{3}$이라는 값을 구할 수 있다.

 

우리가 구해야 하는 것은 $a-b$의 값인데

$2a^2+a+b-1=a+2b$

이 식을 잘 정리하면

$a-b=1+a-2a^2$

이라는 관계식으로 정리 할 수 있고, 위에서 찾은 $a=- \frac {1}{3}$을 대입하면 $a-b=\frac {4}{9}$를 구할 수 있다.