고1중간고사대비 문제풀이 (2)

두 다항식 $x^3 +2x^2 +ax-2$와 $x^3 -2x^2 +bx+2$가 모두 일차항의 계수가 $1$이고 상수항이 $0$이 아닌 두 일차다항식 $f(x)$, $g(x)$를 인수로 가질 때, 두 상수 $a$, $b$에 대하여 $a^2 +b^2$의 값은? (단, $f(x)\neq g(x)$)

 

 

풀이)

①두 다항식 $x^3 +2x^2 +ax-2$와 $x^3 -2x^2 +bx+2$가 모두 일차항의 계수가 $1$이고 상수항이 $0$이 아닌 두 일차다항식 $f(x)$, $g(x)$를 인수로 가진다는 의미는 "2개의 공통 해"를 가진다는 의미이다.

즉,

$x^3 +2x^2 +ax-2$와

$x^3 -2x^2 +bx+2$

이 두개의 식에서 $a$와 $b$의 값을 적절히 조절하면 아래 그래프와 같이 $x$축상에 교점이 2개 생긴다는 것이다.

 

https://www.desmos.com/calculator/lmglguxnts

 

(위 그래프 링크를 눌러서 들어가면 $a$와 $b$값을 조절하면 그래프가 어떻게 바뀌는지 볼 수 있음)

 

 

그래프를 보면 2개의 공통 해가 $-1$과 $1$이라는 것을 금방 알 수 있지만, 시험 볼 때에는 그래프 그려주는 컴퓨터가 없을 때 문제 푸는 방법은 아래와 같다.

 

공통해가 뭔지는 모르지만 2개 있다는것은 파악 할 수 있으므로 각각의 해를 $c$와 $d$라고 하면 아래와 같은 관계식을 만들 수 있다.

 

$x^3 +2x^2 +ax-2=(x-c)(x-d)Q(x)$
$x^3 -2x^2 +bx+2=(x-c)(x-d)P(x)$

 

 

 

 

② $c$와 $d$는 위의 관계식 2개를 서로 더한 식과 뺀 식의 해도 될 수 있다는 사실을 이용한다.

 

이게 왜 가능하냐 하면

두 식을 더하면 아래와 같고

\begin{matrix} & x^3 &+2x^2 &+ax&-2 &=& (x-c)(x-d)&Q(x)\\ +) & x^3 &-2x^2 &+bx&+2 &=&(x-c)(x-d)&P(x) \\ \hline &2x^3& &+(a+b)x & &=&(x-c)(x-d)&(Q(x)+P(x))\\ \end{matrix}

 

두 식을 빼면 아래와 같은데

\begin{matrix} & x^3 &+2x^2 &+ax&-2 &=& (x-c)(x-d)&Q(x)\\ -) & x^3 &-2x^2 &+bx&+2 &=&(x-c)(x-d)&P(x) \\ \hline & & 4x^2&+(a-b)x &-4 &=&(x-c)(x-d)&(Q(x)-P(x))\\ \end{matrix}

 

더한 식 $2x^3+(a+b)x=(x-c)(x-d)\left \{ Q(x)+P(x) \right \}$과

뺀 식 $4x^2+(a-b)x -4 =(x-c)(x-d)\left \{ Q(x)-P(x) \right \}$

두 식 모두 여전히 $(x-c)(x-d)$를 인수로 가지고 있기 때문에 $c$와 $d$는 두 식을 더한 식의 해도 되고 뺀 식의 해도 된다.

 

 

 

③근과 계수와의 관계 이용

더한식 $2x^3 +(a+b)x$ 을 정리하면

$2x^3 +(a+b)x=x \left \{ 2x^2 +(a+b) \right \}$

위와 같이 정리가 되기 때문에 더한 식의 근 1개는 $x=0$이라는 것을 알 수 있다.

그런데 문제에서 공통인수 $f(x)$와 $g(x)$의 상수항이 0이 아니라는 조건을 주었기 때문에

$2x^2 +(a+b)$ 이 부분의 해가 $c$와 $d$라는 것을 알 수 있다.

근과 계수와의 관계를 이용하면

$c+d=0$과

$cd=\begin{matrix} a+b \\ \hline 2\\ \end{matrix}$

라는 조건을 얻을 수 있다.

 

마찬가지로 뺀 식

$4x^2+(a-b)x-4$의 해도 $c$와 $d$이기 때문에 근과 계수와의 관계를 이용하면

$c+d=-\ \begin{matrix} a-b \\ \hline 4\\ \end{matrix}$와

$cd=-1$이라는 조건을 얻을 수 있다.

 

우리가 구한 조건 4가지

 

$c+d=0$

$c+d=-\ \begin{matrix} a-b \\ \hline 4\\ \end{matrix}$

$cd=\begin{matrix} a+b \\ \hline 2\\ \end{matrix}$

$cd=-1$

 

이걸 연립해서 풀면 $a=b$라는 조건, $c=-d$라는 조건을 만들 수 있고,

$cd=-1$이란 조건을 만족시키려면 $c=1$이고 $d=-1$이면 된다는 것을 알 수 있다.

이렇게 $c$와 $d$를 구해서 아무 식에나 대입하면 $a=-1$과 $b=-1$이 구해진다.

 

따라서 $a^2 +b^2 =1+1=2$