고1중간고사대비 문제풀이 (1)

차수가 3인 다항식 $P(x)$를 $x^2 +2$로 나누었을 때의 나머지가 $x+1$이고, $x-2$로 나누었을 때의 나머지가 9이다.

다항식 $P(x)$를 $(x^2 +2)(x-2)$로 나누었을 때의 나머지를 $R(x)$라 할 때, $R(3)$의 값을 구하시오.

 

 

풀이)

①다항식 $P(x)$를 $(x^2 +2)(x-2)$로 나누었을 때의 나머지를 $R(x)$

 

이 문장을 식으로 표현하면

$P(x)=(x^2 +2)(x-2)Q+R(x)$

위와 같이 표현 가능한데, $(x^2 +2)(x-2)$는 3차식이므로 $R(x)$는 2차식이 돼야 한다.

$R(x)=ax^2 +bx+c$

라고 하면

$P(x)=(x^2 +2)(x-2)Q+ax^2 +bx+c$

라고 쓸 수 있다

 

 

 

②$P(x)$를 $x^2 +2$로 나누었을 때의 나머지가 $x+1$의 의미

 

$P(x)={\color{Red} {(x^2 +2)(x-2)Q }}+ax^2 +bx+c$

위 식의 빨간 색 부분을 $x^2 +2$로 나눈 나머지는 0이기 때문에

 

$P(x)$를 $x^2 +2$로 나누었을 때의 나머지가 $x+1$

위 문장의 의미는

$ax^2 +bx+c$를 $x^2 +2$로 나눈 나머지가 $x+1$이라는 것과 같은 뜻이 된다.

 

이걸 식으로 표현하면

$R(x)=ax^2 +bx+c=a(x^2 +2)+x+1$

따라서 

$P(x)=(x^2 +2)(x-2)Q+a(x^2 +2)+x+1$

라고 쓸 수 있다.

 

 

 

③ 이제 $a$만 구하면 $R(x)$를 알 수 있기 때문에  구할 수 있는데, $a$를 찾기 위해서 $P(x)$를 $x-2$로 나누었을 때의 나머지가 $9$ 라는 조건을 나머지정리로 간단히 표현하면 $P(2)=9$라고 쓸 수 있다.

즉,

$P(2)={\color{Red} {(2^2 +2)(2-2)Q}}+a(2^2 +2)+2+1=9$

위와 같이 쓸 수 있는데 $2-2=0$이라서 빨산색 부분은 0이 되고,

$a(2^2 +2)+2+1=9$

이 부분만 계산하면 $a(4+2)+2+1=9$, $a=1$이라는 것을 알 수 있다.

따라서 

$R(x)=(x^2 +2)+x+1$

$R(3)=(3^2 +2)+3+1=15$