급수전개(2) - 함수의 멱급수 구하기



지난 글에서 어떤 함수를 $x$에 관한 함수 여러개로 쪼개서 더하는 방식으로 만든게 멱급수라는 이야기를 했었다.



55라는 숫자는 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 이렇게 표현 할 수도 있는 것 처럼

어떤 함수 $f(x)$를 $x$에 관한 함수들의 합으로 만들 수 있을거라는 믿음으로 시작하면 된다.


오늘은 멱급수중에 가장 기본적이고 중요한 테일러급수와 매클로린급수에 대해 설명하고, 이 급수를 이용해 $\sin x$를 멱급수로 만드는 과정을 보여주려고 한다.


자꾸 반복해서 설명하지만, 우리가 어떤 함수를 급수로 전개하는 이유는 풀어야 하는 함수가 너무 복잡하니까 그냥 그 함수를 다루는 일은 포기하고, 최대한 비슷한 함수를 만들어서 계산을 진행하는 전략적 행동이다.


즉, 함수를 급수형태로 바꿔서 계산을 진행한다는 것은

어떤 문제를 풀어서 정확한 값을 찾기 위한 행위가 아니고, 그나마 최대한 가까운 값을 찾는데 그 목적이 있다.


이전 글에서 어떤 임의의 함수는


$$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+\cdots =\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$$



위와 같은 형태의 급수전개를 할 수 있고, 이는 $x=0$ 근처에서 원래 함수의 그래프와 꽤 잘 맞는다는 것도 확인했다.


그리고 우리가 급수중에 제일 중요한 "테일러 급수"라는 놈을 받아들이기 위해서 먼저 해야 할 일이


$$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+\cdots =\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$$


이런 표현이 터무니없는 짓이 아니라는 것을 받아들이는 것이었다.



자~. 위의 식을 받아들였다면

이제 본격적으로 시작 해 보도록 하자!





1. Taylor series (테일러 급수)




$$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+\cdots =\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$$


이 급수전개는 $x=0$ 근처에서 잘 맞는 식이고, 좀 더 일반화 시켜서 $x$가 $0$ 말고 임의의 숫자 $a$ 일 때

즉, $x=a$ 근처에서 잘 맞도록 급수를 전개하려면 식이 아래와 같이 살짝 바뀐다.


$$f(x)=a_{0}+a_{1}{\color{Red}{(x-a)}}+a_{2}{\color{Red}{(x-a)}}^{2}+a_{3}{\color{Red}{(x-a)}}^{3}+a_{4}{\color{Red}{(x-a)}}^{4}+\cdots =\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}{\color{Red}{(x-a)}}^{n}$$



식이 바뀐게 거창한게 아니고 그냥 $x$를 $(x-a)$로 바꿔준게 전부이다.




식의 의미를 살펴보면


어떤 함수 $f(x)$가 있는데, 특히 그 중에서 내가 관심있는건 이 함수 $f(x)$가 $x=a$일 때.

즉, $f(a)$에 대해서 관심이 있다는거다!

그런데 이 $f(x)$라는 함수녀석이 꽤나 까다로운 녀석이라서 $f(a)$에 대한 분석도 꽤나 어렵단 말이지.

크큭! 어쩔 수 없이 $x=a$ 근처에서 $f(x)$를 급수로 쪼개버리는 수 밖에 없겠군!

함수녀석... 나도 이러고 싶진 않지만...

어쩔 수 없이 분해 당해 줘야겠어!


이런 의미이다.



$$f(x)=a_{0}+a_{1}(x-a)+a_{2}(x-a)^{2}+a_{3}(x-a)^{3}+a_{4}(x-a)^{4}+\cdots =\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}$$



위의 식처럼 쪼갤 수 있다는 상황은 일단 받아들였다면

우리가 할 일은 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$의 값을 찾아주는 것이다.


어떻게 구하느냐...

전략은 계속 미분하면서 $x$에다가 $a$를 대입해보는 것이다.


$$f(x)=a_{0}+a_{1}(x-a)+a_{2}(x-a)^{2}+a_{3}(x-a)^{3}+a_{4}(x-a)^{4}+\cdots$$


이 식에 $x=a$를 대입하면


$$f(a)=a_{0}+a_{1}{\color{Red}{(a-a)}}+a_{2}{\color{Red}{(a-a)}}^{2}+a_{3}{\color{Red}{(a-a)}}^{3}+a_{4}{\color{Red}{(a-a)}}^{4}+\cdots$$


위와 같이 빨간색 괄호가 다 0이 돼서 남는 것은


$$f(a)=a_{(0)}$$


이런 관계만 남는다.


그럼 이제 미분을 한 번 해보자


$$f'_{(x)}=a_{1}+2\cdot a_{2}(x-a)+3\cdot a_{3}(x-a)^{2}+4\cdot a_{4}(x-a)^{3}+5\cdot a_{5}(x-a)^{4}+\cdots$$


여기에도 $x=a$를 대입하면


$$f'_{(a)}=a_{1}+2\cdot a_{2}{\color{Red}{(a-a)}}+3\cdot a_{3}{\color{Red}{(a-a)}}^{2}+4\cdot a_{4}{\color{Red}{(a-a)}}^{3}+5\cdot a_{5}{\color{Red}{(a-a)}}^{4}+\cdots$$



이렇게 나머지 부분은 다 0이 되고,


$$f'_{(a)}=a_{1}$$


이것만 남는다.



또 한 번 미분해서 $x=a$를 대입하면


$$f''_{(x)}=2\cdot a_{2}+3\cdot 2\cdot a_{3}(x-a)+4\cdot 3 \cdot a_{4}(x-a)^{2}+5\cdot4\cdot a_{5}(x-a)^{3}+\cdots$$


$$f''_{(a)}=2\cdot a_{2}$$


즉, $$a_{2}=\frac{1}{2}f''_{(a)}$$



여기서 한 번 더 미분해서 $x=a$를 대입하면


$$f'''_{(x)}=3\cdot 2\cdot a_{3}+4\cdot 3 \cdot 2\cdot a_{4}(x-a)+5\cdot4\cdot3\cdot a_{5}(x-a)^{2}+\cdots$$


$$f'''_{(a)}=3\cdot 2\cdot a_{3}$$


$$a_{3}=\frac{1}{3\cdot 2}f'''_{(a)}$$



이렇게 $n$번 미분 한 식에 $x=a$를 대입해서 $a_n$을 아래와 같이 구할 수 있다.


$$a_{n}=\frac{1}{n!}f^{(n)}_{(a)}$$


여기서 $f^{(n)}_{(a)}$의 의미는 함수 $f(x)$를 $n$번 미분 한 식에 $x=a$를 대입하라는 의미이다.



이걸 다 정리해서 테일러 급수를 표현하면


$$f(x)=f(a)+\frac{1}{1!}f'_{(a)}(x-a)+\frac{1}{2!}f''_{(a)}(x-a)^2+\frac{1}{3!}f'''_{(a)}(x-a)^3 +\cdots +\frac{1}{n!}f^{(n)}_{(a)}(x-a)^n $$



위와 같이 정리 할 수 있다.






2. Maclaurin's series (매클로린 급수)


매클로린 급수는 테일러 급수의 특수한 경우로

$a=0$일 때, 즉, 원점 근처에서 함수를 급수전개 한 것을 매클로린 급수라고 한다.


즉, 테일러 급수에서 $a$를 $0$으로 바꾸기만 하면 되기 때문에 아래와 같이 식이 더 간단하다.


$$f(x)=f(0)+\frac{1}{1!}f'_{(0)}x+\frac{1}{2!}f''_{(0)}x^2+\frac{1}{3!}f'''_{(0)}x^3 +\cdots +\frac{1}{n!}f^{(n)}_{(0)}x^n $$





3. 사인 함수의 매클로린 급수



자! 그럼 이전글에서 멱급수의 타당성을 설명하기 위해 그래프까지 보여줬던 바로 그 사인함수를 매클로린 급수로 한 번 전개해보자!



$$f(x)=\sin x=f(0)+\frac{1}{1!}f'_{(0)}x+\frac{1}{2!}f''_{(0)}x^2+\frac{1}{3!}f'''_{(0)}x^3 +\cdots +\frac{1}{n!}f^{(n)}_{(0)}x^n$$



$$f(0)=\sin (0)=0$$

$$\frac{1}{1!}f'_{(0)}x=\frac{1}{1!}\cos (0) x= x$$

$$\frac{1}{2!}f''_{(0)}x^2=\frac{1}{2!}(-\sin (0))x^2=0$$

$$\frac{1}{3!}f'''_{(0)}x^3=\frac{1}{3!}(-\cos (0))x^3=\frac{-1}{3!}x^3$$



식을 잘 살펴보면 짝수 번 미분 한 항은 0이 되고, 홀수 번 미분 한 항만 살아남는 것을 볼 수 있다.

이 식을 잘 정리하면 


$$\sin x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$


이런 식으로 표현이 가능하다는 것을 알 수 있다.


즉, 이전 글에서 우리가 사용했던 식


$$\sin x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$


이 식은 사인함수를 매클로린 급수로 전개해서 얻어진 식이었던 것이고,

매클로린 급수로 만든 함수의 그래프가 $x=0$인 원점 근처에서는 $\sin$함수의 그래프와 꽤 잘 맞았던 것도 확인 할 수 있었다.




물리 문제를 풀다 보면 각 $\theta$가 작을 때에는 $\sin x = x$라고 할 수 있다는 근사 조건이 나오는데

이것도 $\sin x$를 $x=0$근처에서 매클로린 급수로 전개 하는데 최초 1개 항만 가지고 근사해서 나오는 조건이다.





위 그래프에서 볼 수 있듯이 $f(x)=x$의 그래프와 $f(x)=\sin x$의 그래프는 $x=0$근처에서는 일치하는 부분이 조금이나마 있어서 근사를 할 수 있다.


물론 매클로린 급수의 고차 항을 점점 더 추가해서 전개하면 아래와 같이 더 잘 일치하게 된다.













이제 우리는 급수전개라는 전략적 방법을 하나 익히게 되었다.


이 방법은 우리가 물리 문제 풀다가 뭔가 함수 형태가 복잡해서 계산하기 힘들다 싶으면 급수전개 해서 대충계산하는 경우에 꽤나 자주 사용되는 전략이므로 잘 기억 해 두는 것이 좋다.






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