양자역학 1강. 문제를 풀기 위한 슈뢰딩거 방정식


[슈뢰딩거 방정식]


$$-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}}+V(x)\psi(x)=E\psi(x)$$


슈뢰딩거 방정식은 위와 같은 모습이 기본 형태이지만, 이걸 그대로 외우면 문제 풀 때마다 변환을 해야 하는 번거로움이 따른다.

따라서 미분 파트만 좌변에 남기고 다 우변으로 넘겨서 아래와 같은 형태를 만들어보자.



$$\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}}=-\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}\psi(x)$$



위 미분방정식은 2번 미분하면 $-\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}$가 자기 자신에 곱해지는 형태가 되는 2차 미분방정식이다.

이 미방의 해는 $Ae^{ikx}$ 와 같은 형태이다.

이 해를 슈뢰딩거 방정식에 대입해보면



$$\frac{d^{2}}{dx^{2}}Ae^{ikx}=-k^{2}Ae^{ikx}=-\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}Ae^{ikx}$$



위와 같아진다.


즉, $k^2 =\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}$ 라고 두면 식을 아래와 같이 간단히 표현 할 수 있다.


$$\frac{d^{2}}{dx^{2}}\psi(x)=-k^{2}\psi(x)$$



그러니까 이제 빠르게 문제를 풀기 위해서 아래 식을 외우자!


$$\psi(x)=Ae^{ikx}$$

$$\frac{d^{2}}{dx^{2}}\psi(x)=-k^{2}\psi(x)$$

$$k^2 =\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}$$